2015
年高考數學試題分類匯編
-----
專題九
（導數及應用）
答案解析
1.
（
15
北京理科）已知函數
?
?
1
ln
1
x
f
x
x
?
?
?
．
（Ⅰ）求曲線
?
?
y
f
x
?
在點
?
?
?
?
0
0
f
，
處的切線方程；
（Ⅱ）求證：當
?
?
0
1
x
?
，
時，
?
?
3
2
3
x
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
；
（Ⅲ）設實數
k
使得
?
?
3
3
x
f
x
k
x
?
?
?
?
?
?
?
?
對
?
?
0
1
x
?
，
恒成立，求
k
的最大值．
【答案】
（Ⅰ）
2
0
x
y
?
?
，
（Ⅱ）證明見解析，
（Ⅲ）
k
的最大值為
2.
試題解析：
（Ⅰ）
2
1
2
(
)
ln
,
(
1,1),
(
)
,
(0)
2,
(0)
0
1
1
x
f
x
x
f
x
f
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，曲線
?
?
y
f
x
?
在點
?
?
?
?
0
0
f
，
處的切線方程為
2
0
x
y
?
?
；
（Ⅱ）當
?
?
0
1
x
?
，
時，
?
?
3
2
3
x
f
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
，即不等式
3
(
)
2
(
)
0
3
x
f
x
x
?
?
?
，對
(0,1)
x
?
?
成立，設
3
3
1
(
)
ln
2
(
)
ln(1
)
ln(1
)
2
(
)
1
3
3
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，則
4
2
2
(
)
1
x
F
x
x
?
?
?
，當
?
?
0
1
x
?
，
時，
(
)
0
F
x
?
?
，故
(
)
F
x
在（
0
，
1
）上為增函數，則
(
)
(0)
0
F
x
F
?
?
，因此對
(0,1)
x
?
?
，
3
(
)
2
(
)
3
x
f
x
x
?
?
成立；
（Ⅲ）使
?
?
3
3
x
f
x
k
x
?
?
?
?
?
?
?
?
成立，
?
?
0
1
x
?
，
，等價于
3
1
(
)
ln
(
)
0
1
3
x
x
F
x
k
x
x
?
?
?
?
?
?
，
?
?
0
1
x
?
，
；
4
2
2
2
2
2
(
)
(1
)
1
1
kx
k
F
x
k
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
當
[0,2]
k
?
時，
(
)
0
F
x
?
?
，函數在（
0
，
1
）上位增函數，
(
)
(0)
0
F
x
F
?
?
，
符合題意；
當
2
k
?
時，令
4
0
2
(
)
0,
(0,1)
k
F
x
x
k
?
?
?
?
?
，
x
0
(0,
)
x
0
x
0
(
,1)
x
(
)
F
x
?
-
0
+
(
)
F
x
極小值
(
)
(0)
F
x
F
?
，顯然不成立，
綜上所述可知：
k
的最大值為
2.
考點：
1.
導數的幾何意義；
2.
利用導數研究函數的單調性，證明不等式；
3.
含參問題討
論
.
2.
（
15
北京文科）設函數
?
?
2
ln
2
x
f
x
k
x
?
?
，
0
k
?
．
（Ⅰ）求
?
?
f
x
的單調區間和極值；
（Ⅱ）證明：若
?
?
f
x
存在零點，則
?
?
f
x
在區間
?
1,
e
?
?
上僅有一個零點．
【答案】
（
1
）單調遞減區間是
(0,
)
k
，單調遞增區間是
(
,
)
k
??
；極小值
(1
ln
)
(
)
2
k
k
f
k
?
?
；
（
2
）證明詳見解析