專題

10 

概率與統計

1

．

【

2019

年高考全國Ⅲ卷理數】

《西游記》

《三國演義》

《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱

為中國古典小說四大名著．某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了

100

位學生，其中

閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有

90

位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有

80

位，閱讀過《西游

記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有

60

位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的

估計值為

A

．

0.5

B

．

0.6

C

．

0.7 

D

．

0.8

【答案】

C

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為

90

-

80+60=70

，則其與該校學生人數之比為

70÷100=0.7

．故選

C

．

【名師點睛】本題考查抽樣數據的統計，滲透了數據處理和數學運算素養．采取去重法，利用轉化與化

歸思想解題．

2

．

【

2019

年高考全國Ⅱ卷理數】

演講比賽共有

9

位評委分別給出某選手的原始評分，

評定該選手的成績時，

從

9

個原始評分中去掉

1

個最高分、

1

個最低分，

得到

7

個有效評分．

7

個有效評分與

9

個原始評分相比，

不變的數字特征是

A

．中位數

B

．平均數

C

．方差

D

．極差

【答案】

A

【解析】設

9

位評委評分按從小到大排列為

1

2

3

4

8

9

x

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

．

則①原始中位數為

5

x

，

去掉最低分

1

x

，

最高分

9

x

后剩余

2

3

4

8

x

x

x

x

?

?

?

?

，

中位數仍為

5

x

，

A

正確；

②原始平均數

1

2

3

4

8

9

1

(

)

9

x

x

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

?

，后來平均數

2

3

4

8

1

(

)

7

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

，平均數

受極端值影響較大，

?

x

與

x

?

不一定相同，

B

不正確；

③

2

2

2

2

1

1

1

[(

)

(

)

(

)

]

9

q

S

x

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

?

?

，

2

2

2

2

2

3

8

1

[(

)

(

)

(

)

]

7

s

x

x

x

x

x

x

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

由②

易知，

C

不正確；

④原極差

9

1

x

x

?

?

，后來極差

8

2

x

x

?

?

，顯然極差變小，

D

不正確．故選

A

．

3

．

【

2019

年高考浙江卷】設

0

＜

a

＜

1

，則隨機變量

X

的分布列是

X

0

a

1

P

1

3

1

3

1

3

則當

a

在（

0

,

1

）內增大時，

A

．

(

)

D

X

增大

B

．

(

)

D

X

減小

C

．

(

)

D

X

先增大后減小

D

．

(

)

D

X

先減小后增大

【答案】

D

【分析】研究方差隨

a

變化的增大或減小規律，常用方法就是將方差用參數

a

表示，應用函數知識求解

.

本題根據方差與期望的關系，將方差表示為

a

的二次函數，二次函數的圖象和性質解題

.

題目有一定綜合

性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查．

【解析】方法

1

：由分布列得

1

(

)

3

a

E

X

?

?

，

則

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

2

1

1

(

)

(

0)

(

)

(

1)

(

)

3

3

3

3

3

3

9

2

6

a

a

a

D

X

a

a

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

則當

a

在

(0,1)

內增大時，

(

)

D

X

先減小后增大．故選

D

．

方法

2

：則

2

2

2

2

2

1

(

1)

2

2

2

2

1

3

(

)

(

)

(

)

0

[(

)

]

3

3

9

9

9

2

4

a

a

a

a

D

X

E

X

E

X

a

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

則當

a

在

(0,1)

內增大時，

(

)

D

X

先減小后增大．故選

D

．

【名師點睛】易出現的錯誤有，一是數學期望、方差以及二者之間的關系掌握不熟，無從著手；二是計

算能力差，不能正確得到二次函數表達式．

4

．

【

2019

年高考江蘇卷】已知一組數據

6

，

7

，

8

，

8

，

9

，

10

，則該組數據的方差是

______________

．

【答案】

5

3

【解析】由題意，該組數據的平均數為

6

7

8

8

9

10

8

6

?

?

?

?

?

?

，

所以該組數據的方差是

2

2

2

2

2

2

1

5

[(6

8)

(7

8)

(8

8)

(8

8)

(9

8)

(10

8)

]

6

3

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

．

5

．

【

2019

年高考全國Ⅱ卷理數】我國高鐵發展迅速，技術先進．經統計，在經停某站的高鐵列車中，有

10

個車次的正點率為

0.97

，有

20

個車次的正點率為

0.98

，有

10

個車次的正點率為

0.99

，則經停該站高鐵

列車所有車次的平均正點率的估計值為

______________

．

【答案】

0.98