1
歷年高考函數大題分類歸納
一、函數大題
1.(
本小題滿分
13
分)
2011
設
?
?
nx
mx
x
x
f
?
?
?
2
3
3
1
.
(
1
)如果
?
?
?
?
3
2
?
?
?
?
x
x
f
x
g
在
2
?
?
x
處取得最小值
5
?
,求
?
?
x
f
的解析式;
(
2
)如果
?
?
?
?
?
?
N
n
m
n
m
,
10
,
?
?
x
f
的單調遞減區間的長度是正整數,試求
m
和
n
的值.
(
注:區間
?
?
b
a
,
的長度為
a
b
?
)
解:
(
1
)已知
?
?
nx
mx
x
x
f
?
?
?
2
3
3
1
,
?
?
n
mx
x
x
f
?
?
?
?
2
2
'
又
?
?
?
?
?
?
3
2
2
3
2
2
'
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
m
x
x
x
f
x
g
?
在
2
?
?
x
處取極值,
則
?
?
?
?
?
?
3
0
2
2
2
2
2
'
?
?
?
?
?
?
?
?
m
m
g
,又在
2
?
?
x
處取最小值
-5.
則
?
?
?
?
?
?
2
5
3
4
2
2
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
g
?
?
x
x
x
x
f
2
3
3
1
2
3
?
?
?
?
(
2
)要使
?
?
nx
mx
x
x
f
?
?
?
2
3
3
1
單調遞減,則
?
?
0
2
2
'
?
?
?
?
?
n
mx
x
x
f
又遞減區間長度是正整數,所以
?
?
0
2
2
'
?
?
?
?
n
mx
x
x
f
兩根設做
a
,
b
。即有:
b-a
為區間長度。又
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N
n
m
n
m
n
m
ab
b
a
a
b
,
2
4
4
4
2
2
2
又
b-a
為正整數,且
m+n<10,
所以
m=2
,
n=3
或,
5
,
3
?
?
n
m
符合。
2
.
(本小題滿分
12
分)
2010
設函數
3
2
(
)
6
3(
2)
2
f
x
x
a
x
ax
?
?
?
?
.
(
1
)若
(
)
f
x
的兩個極值點為
1
2
,
x
x
,且
1
2
1
x
x
?
,求實數
a
的值;
(
2
)
是否存在實數
a
,
使得
(
)
f
x
是
(
,
)
??
??
上的單調函數?若存在
,
求出
a
的值;
若不存在,說明理由
.
解:
2
(
)
18
6(
2)
2
f
x
x
a
x
a
?
?
?
?
?
(
1
)由已知有
1
2
(
)
(
)
0
f
x
f
x
?
?
?
?
,從而
1
2
2
1
18
a
x
x
?
?
,所以
9
a
?
;
(
2
)由
2
2
36(
2)
4
18
2
36(
4)
0
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
所以不存在實數
a
,使得
(
)
f
x
是
R
上的單調函數
.
2
3
.
(本小題滿分
12
分)
2009
設函數
3
2
9
(
)
6
2
f
x
x
x
x
a
?
?
?
?
(
1
)對于任意實數
x
,
(
)
f
x
m
?
?
恒成立,求
m
的最大值;
(
2
)若方程
(
)
0
f
x
?
有且僅有一個實根,求
a
的取值范圍
解:
(1)
'
2
(
)
3
9
6
3(
1)(
2)
f
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
,
因為
(
,
)
x
?
??
??
,
'
(
)
f
x
m
?
,
即
2
3
9
(6
)
0
x
x
m
?
?
?
?
恒成立
,
所以
81
12(6
)
0
m
?
?
?
?
?
,
得
3
4
m
?
?
,即
m
的最大值為
3
4
?
(2)
因為
當
1
x
?
時
,
'
(
)
0
f
x
?
;
當
1
2
x
?
?
時
,
'
(
)
0
f
x
?
;
當
2
x
?
時
,
'
(
)
0
f
x
?
;
所以
當
1
x
?
時
,
(
)
f
x
取極大值
5
(1)
2
f
a
?
?
;
當
2
x
?
時
,
(
)
f
x
取極小值
(2)
2
f
a
?
?
;
故當
(2)
0
f
?
或
(1)
0
f
?
時
,
方程
(
)
0
f
x
?
僅有一個實根
.
解得
2
a
?
或
5
2
a
?
.
4
.已知函數
4
3
2
2
4
1
1
(
)
(
0)
4
3
f
x
x
ax
a
x
a
a
?
?
?
?
?
2008
(
1
)求函數
(
)
y
f
x
?
的單調區間;
(
2
)若函數
(
)
y
f
x
?
的圖像與直線
1
y
?
恰有兩個交點,求
a
的取值范圍.
解:
(
1
)因為
3
2
2
(
)
2
(
2
)(
)
f
x
x
ax
a
x
x
x
a
x
a
?
?
?
?
?
?
?
令
(
)
0
f
x
?
?
得
1
2
3
2
,
0,
x
a
x
x
a
?
?
?
?
由
0
a
?
時,
(
)
f
x
?
在
(
)
0
f
x
?
?
根的左右的符號如下表所示
x
(
,
2
)
a
??
?
2
a
?
(
2
,0)
a
?
0
(0,
)
a
a
(
,
)
a
??
(
)
f
x
?
?
0
?
0
?
0
?
(
)
f
x
極小值
極大值
極小值
所以
(
)
f
x
的遞增區間為
(
2
,0)
(
,
)
a
a
?
??
與
;
(
)
f
x
的遞減區間為
(
2
)
(0
)
a
a
??
?
,
與
,