2019
年全國高考文科數學分類匯編
---
解析幾何
1.
（
2019
北京文科）已知雙曲線
2
2
2
1
x
y
a
?
?
（
a
＞
0
）的離心率是
5
則
a
=
A.
6
B.
4
C.
2
D.
1
2
【答案】
D
【解析】
【分析】
本題根據根據雙曲線的離心率的定義，列關于
a
的方程求解
.
【詳解】
∵雙曲線的離心率
5
c
e
a
?
?
，
2
1
c
a
?
?
，
∴
2
1
5
a
a
?
?
，
解得
1
2
a
?
，
故選
D.
【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中
a,b,c
的關系，方程的數學思想等知識，意在考查
學生的轉化能力和計算求解能力
.
2.
（
2019
北京文科）
設拋物線
y
2
=4
x
的焦點為
F
，
準線為
l
則以
F
為圓心，
且與
l
相切的圓的方程為
__________
．
【答案】
(
x
-1)
2
+
y
2
=4.
【解析】
【分析】
由拋物線方程可得焦點坐標，即圓心，焦點到準線距離即半徑，
進而求得結果
.
【詳解】拋物線
y
2
=4
x
中，
2
p
=4
，
p
=2
，
焦點
F
（
1,0
）
，準線
l
的方程為
x
=-1
，
以
F
為圓心，
且與
l
相切的圓的方程為
(
x
-1)
2
+
y
2
=2
2
,
即為
(
x
-1)
2
+
y
2
=4.
【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標，拋物線的準線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意
在考查學生的轉化能力和計算求解能力
.
3.
（
2019
北京文科）已知橢圓
2
2
2
2
:
1
x
y
C
a
b
?
?
的右焦點為
(1,0)
，且經過點
(0,1)
A
.
（Ⅰ）求橢圓
C
的方程；
（Ⅱ）設
O
為原點，直線
:
(
1)
l
y
kx
t
t
?
?
?
?
與橢圓
C
交于兩個不同點
P
，
Q
，直線
AP
與
x
軸交于點
M
，
直線
AQ
與
x
軸交于點
N
，若
|
OM
|
·
|
ON
|=2
，求證：直線
l
經過定點
.
【答案】
（Ⅰ）
2
2
1
2
x
y
?
?
；
（Ⅱ）見解析
.
【解析】
【分析】
(
Ⅰ
)
由題意確定
a
,
b
的值即可確定橢圓方程；
(
Ⅱ
)
設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程確定
OM
,
ON
的表達式，結合韋達定理確定
t
的值即可證明直
線恒過定點
.
【詳解】
（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為
(1,0)
，所以
12
25
；
因為橢圓經過點
(0,1)
A
,
所以
1
b
?
，所以
2
2
2
2
a
b
c
?
?
?
，故橢圓的方程為
2
2
1
2
x
y
?
?
.
（Ⅱ）設
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
P
x
y
Q
x
y
聯立
2
2
1
2
(
1)
x
y
y
kx
t
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
得
2
2
2
(1
2k
)
4
2
2
0
x
ktx
t
?
?
?
?
?
，
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
0,
,
1
2
1
2
kt
t
x
x
x
x
k
k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
1
2
1
2
2
2
(
)
2
1
2
t
y
y
k
x
x
t
k
?
?
?
?
?
?
，
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)
1
2
t
k
y
y
k
x
x
kt
x
x
t
k
?
?
?
?
?
?
?
.
直線
1
1
1
:
1
y
AP
y
x
x
?
?
?
，令
0
y
?
得
1
1
1
x
x
y
?
?
?
，即
1
1
1
x
OM
y
?
?
?
；
同理可得
2
2
1
x
ON
y
?
?
?
.
因為
2
OM
ON
?
,
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
(
)
1
x
x
x
x
y
y
y
y
y
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
；